Como determinar o núcleo é a imagem de uma transformação linear?
Pelo teorema do
núcleo e da
imagem, temos que: dim(N(T)) + dim(Im(T)) = dim(V ) Logo, como dim(N(T)) = 2 as possíveis dimensões de V serão: 3,4 ou 5. Exemplo 5:
Determinar uma
transformação linear T : R3 −→ R3 cujo
núcleo tem dimensão 1.
O que é núcleo e imagem de uma transformação linear?
A
imagem da
transformação linear identidade I:V→V definida por I(v) = v, ∀ v ∈ V, é todo espaço V. O
núcleo é N(I) = {0}. A
imagem da
transformação nula T:V→W definida por T(v) = 0, ∀ v ∈ V, é o conjunto Im(T) = {0}. O
núcleo é todo o espaço V.
O que é o núcleo de uma transformação linear?
Em matemática, mais especificamente em álgebra
linear e análise funcional, o
núcleo (kernel, em inglês) ou espaço nulo de uma
transformação linear L : V → W entre dois espaços vetoriais V e W, é o conjunto de todos os elementos v de V para os quais L(v) = 0, em que 0 denota o vetor nulo de W.
Como saber se uma transformação linear e injetora?
No caso particular em que b → = 0 → , o sistema homogêneo A x → = 0 → sempre possui a solução trivial x → = 0 → . Neste caso, para que a
transformação linear seja
injetora devemos verificar que esta é a única solução de A x → = 0 → .
Como mostrar que T é linear?
Para
mostrar que T é uma transformação
linear, basta
mostrar que T(v1+αv2) =
T(v1)+αT(v2), para todo v1,v2 ∈ V e α ∈ R.
Como verificar se a transformação e injetora?
Em outras palavras,
se A x → = 0 → possuir apenas a solução trivial, então não existe mais do que uma solução para A x → = b → . Portanto, T é
injetora.
Como provar que é um subespaço?
Vamos verificar que valem as propriedades de
subespaço para U: (i) A matriz nula é simétrica, logo o elemento neutro está em U; (ii) Tome duas matrizes A e B de U, ou seja, At = A e Bt = B. Temos A + B = At + Bt = (A + B)t, por propriedade da matriz transposta. Assim, A + B ∈ U; (iii) Tome A ∈ U e α ∈ R.